Nilüfer Yavuzsoy Köse
Anadolu Üniversitesi Eğitim Fakültesi, Eskişehir
Ayhan Kızıltoprak
Milli Eğitim Bakanlığı, Eskişehir
“Gerçekten evrenin sırrını arıyorsanız, benim yaptığım gibi sayılara gelin.
Sonsuzluk her şeyin cevabıdır. Sayı sonsuzdur.”
Cahit Arf
Bu çalışmada ortaokul öğrencilerinde eşit işaretinin ilişkisel anlamı ile ilişkisel düşünmenin nasıl geliştirilebileceğine dair ipuçlarını ve etkinlik örneklerini başta matematik öğretmenleri ve öğretmen eğitimcileri olmak üzere matematik eğitimi ile ilgilenen tüm paydaşlara sunmayı amaçlamaktayız. Bu bağlamda önce ilişkisel düşünmenin ne olduğu ve temel bileşenleri açıklanmış, öğrencilerde ilişkisel düşünmenin geliştirildiği bir öğretim deneyinde uygulanan öğretimlerden örnekler sunulmuştur.
Giriş
Öğrencilerin ilkokuldaki aritmetik hesaplama becerileri ve eşit işaretine yükledikleri anlam cebirsel düşünmelerini ve ileriki düzeylerdeki cebir başarılarını etkilemektedir. Bu durumun farkında olmak ve erken yaşlardan itibaren öğrencilerdeki cebirsel düşünmeyi geliştirmeyi amaçlamak, matematik eğitimi ile ilgilenen eğitimcilerin amaçlarından biri olmalıdır. Hiç şüphesiz bu amaç cebir öğrenme ve öğretmeye yönelik farklı yaklaşımları da dikkate almayı gerektirir. İlişkisel düşünme tam da bu noktada aritmetik ve cebir arasında bir köprü işlevi görerek, öğrencilerde farklı düşünme biçimlerinin ortaya çıkarılmasını sağladığı gibi sayıları, işlemleri, işlem özelliklerini ve hem sayılar hem de işlemler arasındaki ilişkileri fark etmeyi, değerlendirmeyi ve sonunda etkili kullanmayı içerir. Elbette unutulmamalıdır ki, erken yaşlarda cebirsel düşünmeyi kazandırmada sadece ilişkisel düşünme yeterli değildir, cebirsel dilin anlaşılmasının sağlanması ve bu dilin bir düşünme aracı olarak öğrencilerde bir alışkanlığa dönüşmesi esastır.
Aritmetiğin Genellenmesi: Eşit İşareti ve İlişkisel Düşünme
Cebirsel düşünme, matematiksel yapı ve ilişkilerin genellenmesi, temsil edilmesi, savunulması ve muhakemede bulunulması gibi dört ana uygulama olarak görülebilir (Blanton, Levi, Crites & Dougherty, 2011). Bu uygulamaların içerisinde genelleme cebirsel düşünmenin kalbi ve matematiksel etkinliklerin ana noktası olarak görülür (Kaput, 2008; Stephens, Ellis, Blanton & Brizuela, 2017). Bu bağlamda cebirsel düşünme ile ilgili aşamalardan ilki aritmetiğin genellenmesi/genelleştirilmiş aritmetiktir. Aritmetiğin genellenmesi, aritmetik işlemler ve işlemler arası ilişkiler üzerine olan muhakemeleri içerir. Diğer bir ifade ile aritmetiğin genellenmesi aritmetik ifadelere ve eşitliklere yeni bir yolla bakabilmektir. Bu yolda hesaplamadan ziyade eşitliğin yapısına odaklanma ön plandadır. Amaç aritmetikte eşitliklerden ve bu eşitliklerdeki değişme, birleşme, dağılma, birim eleman gibi çeşitli işlem özelliklerinden yola çıkarak cebirin harfli/sembolik dünyasına geçiş yapabilmeyi sağlamaktır. Böylece öğrenciler değişme ve birleşme gibi önemli matematiksel fikirleri genelleyebildikleri gibi işlemlerin sayıları nasıl etkilediğini öğrenirler ve eşitliğin ilişkisel anlamını oluştururlar (Blanton, 2008).
Eşitliğin ilişkisel anlamını oluşturmak ise öğrenciler için kolay bir süreç değildir. Matematiksel eşitliği anlama, eşit işaretinin her iki tarafındaki değerlerin aynı olması gerektiğini anlamayı gerektirir ve ne yazık ki öğrencilerin çoğu eşit işaretini, eşitlik kavramının göstergesi olan ilişkisel anlamından çok aritmetik işlemlerin uygulanması için bir komut gibi algılanan işlemsel anlamına sahiptir (Kieran, 1981; Rittle-Johnson, Matthews, Taylor & McEldoon, 2011). Örneğin ilkokul öğrencilerinin çoğunluğunun 8+4= ... +5 gibi bir açık sayı cümlesinde eşit işaretini işlemin uygulanması olarak algıladıklarını ve noktalı yere gelecek sayıyı 12 ya da 17 olarak yanıtladıklarını belirten araştırma sonuçları mevcuttur (Falkner, Levi & Carpenter, 1999). Benzer araştırmalarda da öğrencilerin eşit işaretini yanıt, toplam ya da işaretten önce verilen sayıları ekleme anlamında işlemsel olarak algılamaya eğilimli oldukları vurgulanmaktadır. Öğrencilerin eşit işaretini soldan sağa doğru işlemlerin yapılmasını belirten bir yön (Kieran, 1981), bir işlem sonucu olarak değil, sayılar arasında bir ilişkiyi (Carpenter, Franke & Levi, 2003), bir dengeyi ifade ettiğini anlamaları ilişkisel düşünmenin de anahtarı olarak kabul edilebilir.
İlişkisel düşünme işlemlerde bir sonuç bulmaktan çok, verilen nicelikler arasındaki ilişkilerin incelenmesi ile ilgilenir. Daha açıkça, ilişkisel düşünme, matematik cümlelerinin dönüşümleri için sayı ve işlemlerin temel özelliklerini kullanmayı içerir (Kızıltoprak &Köse, 2017; Koehler, 2004). Örneğin “22+14=25+... ” açık sayı cümlesine ilişkin öğrencilerin nasıl düşüneceklerini tartışalım. İlk olarak öğrencilerin 22 ile 14’ü toplaması ve ardından bu toplamdan 25 çıkararak sonuca ulaşması muhtemeldir. İkinci yol ise sayılar arasındaki ilişkilere odaklanarak sayı cümlesine bütüncül olarak bakmaktır. İlişkisel düşünme olarak isimlendirdiğimiz bu düşünme biçiminde öğrenci 22 ile 25 arasındaki 3 fazlalığın farkına vararak 14’ten 3 çıkarabilir ve kutu yerine gelecek sayıyı 11 olarak belirleyebilir. Bir başka örnek de çıkarma işleminden verelim. Özellikle çok basamaklı sayılarda öğrencilerin birden çok yolla bulabileceği "326 - ... = 327 - ... " gibi bir açık sayı cümlesinde birden çok yanıt söz konusudur. Bu soruda bazı öğrenciler sonuç odaklı düşünebilir. Ancak sonuç odaklı düşünmekten ziyade eşitlikte iki tarafın da farkının korunması gerektiğini düşünen öğrenciler, işlem yapmak yerine eksilenler arasındaki farka odaklanacaklardır. Eşitlikte 326’dan 327’ye 1 arttığını fark eden öğrenciler çıkarma işlemindeki çıkanların da aralarındaki farkın 1 olacağını düşünebilir. Böylelikle boş bırakılan yerlere ardışık sayıların gelebileceğini ve bunun nedeninin de farkın korunmasından kaynaklanabileceğini söyleyebilirler.
Bu örnekler sayılar arasında ilişki kurularak çözülebilirken, bazı sayı cümleleri işlem özelliklerine dayalı olarak çözülebilmektedir. Örneğin; öğrenciler “46+21-21” gibi bir sayı cümlesinde işlem yapmadan değişme özelliğini fark ederek sonuca ulaşabilir, “(65+69)+15” ifadesini birleşme özelliğini kullanarak “(65+15)+69” biçimine dönüştürebilir ve “9x7” işlemini onlukları ve birlikleri kombine ederek “(10x7)-7” biçimine de dönüştürebilirler. Böylelikle işlemlerin temel özelliklerini kullanmış olurlar. Öğrencilerin ilişkiler üzerinde düşünmeye başlamaları, bu ilişkileri nasıl temsil edeceklerini öğrenebilmeleri ve oluşturdukları anlamları ifade edebilmeleri için, daha açıkça ilişkisel düşünmenin geliştirilmesi ve eşit işaretinin ilişkisel anlamının kazandırılması için, doğru/yanlış cümleleri ve açık sayı cümleleri önemli bir araç olarak kullanılabilir (Carpenter, Franke & Levi, 2003). Bu süreçte öğrencilerin düşünme yollarını açıklamalarına izin vermek, farklı stratejiler kullanmak ve sonucu bulmaya odaklanmak yerine ilişkileri ve özellikleri kullanmaya özendirmek ilişkisel düşünmeyi geliştiren önemli etmenlerdendir. Aşağıda öğretim sürecimizde kullandığımız doğru-yanlış sayı cümlelerinden ve açık sayı cümlelerinden örnekler sunulmuştur.
Tablo 1. Örnekler
| Açık Sayı Cümleleri | Açık Sayı Cümleleri |
|
5+27=21+11 12+55=50+10+7 242+32=270+7 |
.... + 7 = 20 + 8 26 + 28 = .... + 29 971 + 108 = 112 +.... |
|
9-5=12-8 33-27=34-26 583-83=529-29 |
67 - 49= .... - 46 56 - .... = 58 - 25 92 - 57 = 94 - 56 - .... |
|
3x21=7x9 3x(8x7)=(3x8)x7 (4x4)x2=(2x4)x2x2 (3x4)+(3x3)=3x7 2x9=(2x10)-9 |
3 x 6 = (3x5) + .... (3 x 4) + .... = 10 x 4 10 + 10 + 10 + 10 - .... = 4 x 8 13 x 10 = (10 x .... ) + .... .... x (2 + 3) = (.... x 2) + (... x 3) |
|
42:16=84:32 90:24=30:8 10: (5:5) = (10:5):5 30:10=(20:10)+(10:10) |
10 : 2 = 5 : .... .... : 3 = (6 : 3) + (6 : 3) 66 : .... = 22 : 2 60 : = 20 : .... |
Bir öğretim süreci gerçekleştirdiğimiz çalışmamızın genel konu akışı Şekil 1’de sunulmuştur. Ortaokul 5. sınıf öğrencileri ile gerçekleştirilen bu öğretimler her hafta 1 oturum olacak şekilde arada tekrarlarla toplamda 8 hafta sürmüştür. Şekil 1’de ayrıca her bir oturumda ele alınan etkinlikler ve gerçekleştirilen temel tartışma konusu da sunulmuştur.
Şekil 1. Öğretim Sürecinin Aşamaları
Öğretim sürecinde ağırlıklı olarak birim küpler ve sayı cümlelerinden yararlanılmıştır. Sayı cümlelerinin kullanımında ise önce doğru/yanlış sayı cümlelerinin tartışılması ile başlanmış, ardından açık sayı cümlelerine geçilmiştir. Şimdi öğretim sürecinin aşamalarından ilk oturum ve sayı cümlelerinde dağılma özelliğinin kullanarak ilişkisel düşünme oturumu örnek olarak açıklanacaktır.
Eşit İşaretinin Anlamı
Öğrencilerin eşit işaretinin ilişkisel anlamını kazanabilmesi için mikado çubuklarından yararlandığımız bir etkinlik ile başlamayı uygun bulduk. Etkinlikte aşağıda puan değerleri gösterilen çubuklardan 5 tane A, 3 tane B, 4 tane C, 2 tane D ve 1 tane E olmak üzere her çocuğa 15 adet mikado çubuğu dağıtılmıştır.
Şekil 2. Mikado çubukları ve puanları
Öğrencilerden bu çubukları puan değerleri eşit olacak biçimde ikiye ayırmaları istenmiş, oluşturacakları eşitlik için seçecekleri mikado çubuğu sayısında özgür oldukları belirtilmiştir. Bir öğrenci (Sude) etkinlik anlatıldıktan kısa süre sonra hızlı bir şekilde çözüme ulaşmıştır. Sude, çubukların puan değerlerini incelemekten ziyade çubuk sayısından yola çıkmış ve başlangıçta bir eşitlik kurduktan sonra kalan çubukların çift sayıda olduğunu fark edip eşit şekilde paylaştırmıştır. Öğrencinin nasıl ayırdığı ve söylemlerinden örnekler sunulmuştur:
Şekil 3. Sude’nin çözüm yolu
Sude : Öğretmenim bu 4 tanesi (Dört tane A çubuğu) ile bu (Bir tane B çubuğu), burası da (Bir tane E ve bir tane A çubuğu) 12 olduğu için eşit olmuş oldu ikisini karşılıklı ikiye ayırdık. Sonra 1 tane buraya 1 tane buraya (ayırdığı gruplara kalan B çubuklarını paylaştırıyor.), ikişer dağıtırım (C çubukları), birer dağıtırım (D çubukları).
Öğretmen : Aferin. Hiç hesap yapmadın gibi.
Sude : Yok yapmadım.
Bir diğer öğrenci (İrem) ise çift sayıdaki çubuklardan (C ve D çubukları) yola çıkmış ve kalanları iki gruba paylaşım yaparak bir eşitlik sağlamak istemiştir.
İrem : Öğretmenim önce çift sayıda olanları eşit dağıttım. (C ve D çubukları) Sonra tek sayıda olanlara baktım (A, B, E çubukları).
Öğretmen : Çift sayıda dediğin nedir?
İrem : Çift. Yani 4, 2… bunları dağıttım.
Öğretmen : Hmm çubuk sayısı (Başta verilen çubuklar)
İrem : Evet. En sonda burası 38 burası 34 kaldı. Sonra buradan 2 puanlık bir çubuk buraya koydum ve oldu. Eşitlendi.
İrem, tüm çubukların puan değerlerin toplamak yerine çift sayıdaki çubukları eşitliğin sol ve sağ tarafına eşit paylaştırarak eşitliği korumuştur. Dolayısıyla İrem’in eşitlik kavramının anlamını kavradığı anlaşılmaktadır. Kalan bir çubuğu eşitliğin bir tarafına koyduğunda eşitliğin bozulduğunu fark etmiş ve çubukların yerlerini değiştirmiştir. İrem eşitlikte sayılar arasında ilişki kurabilmiş ve çubukların yerlerini değiştirerek eşitliğin korunumunu sağlamıştır.
Etkinlikte öğrencilerin seçmiş olduğu mikado çubukları farklılık göstermekle birlikte eşitliğin bozulmadığı vurgulanmalıdır. Bu vurgu ile birlikte öğrencilere “eşitlik denilince ne anlıyorsunuz?” sorusu sorulabilir. Bu sorunun yanıtının sınıf içinde tartışılması önemlidir. Bizim öğretim sürecimizdeki tartışma ortamı örnek olarak verilebilir:
Gaye : İki cismin veya nesnenin veya sayının aynı olması.
Öğretmen : Etkinlikle nasıl açıklayabilirsin bunu?
Semih : Çubuk sayısı olarak aynı olmayabilir ancak puan değerleri olarak eşitlik vardır.
Hakkı : Ben de puan da eşit çubuk da. Sadece puanları eşit olunca eşitlik olmuyor bence.
Öğretmen : Eşitliğe günlük hayattan bir örnek verirseniz bunlar neler olabilir?
Ecem : Terazi olabilir. Tahterevalli de olabilir. Zayıf bir çocuk daha yukarıda kalıyor, ağır çocuk daha aşağıda kalıyor.
Aral : Öğretmenim botlara bir taraf daha ağır kalırsa bot suya batar. Botun her iki tarafında ağırlık eşit olursa bot suda kalır.
Etkinliğin devamında öğrencilerden çubuklarla oluşturmuş oldukları eşitliği matematik cümlesi olarak yazmaları da istenmiştir. Ardından toplamaya yönelik etkinliklerle devam edilmiştir. Diğer örnek oturum ise sayı cümlelerinde dağılma özelliğinin kullanıldığı, birim küplerle gerçekleştirilen etkinliktir.
Sayı cümlelerinde dağılma özelliklerini kullanarak ilişkisel düşünme
Öğrencilerin dağılma özelliğini keşfedebilmeleri için üstü açık iki eş kare prizmanın içine yerleştirilen birim küpler kullanılmıştır. Örneğin 16 mavi ve 16 sarı ile 16 yeşil ve 16 kırmızı birim küpü şekildeki gibi prizmaların içine yerleştirelim. Aslında her iki prizmada da eşit sayıda birim küp olduğunu öğrenciler hemen fark edeceklerdir. Ancak burada toplam birim küp sayısı üzerine konuşmak yerine prizmalardaki birim küp sayılarını veren işlemler üzerine bir tartışma ortamı yaratmak daha yararlı olacaktır. Amacımızın sonuçtan ziyade daha çok sonucu veren işlemler ve ilişkiler olması gerektiği unutulmamalıdır. Burada öğrencilerin ilk prizmadaki “(2x8)+(2x8)=2x(8+8)” işlemini ve ikinci prizmadaki “(4x4)x2” işlemini fark edebilmeleri ve ardından her iki prizmadaki birim küp sayılarını eşitleyebilmeleri “(4x4)x2=(2x8)+(2x8)=2x(8+8)” oldukça önemli bir beceridir.
Şekil 4. Çarpmanın toplama işlemi üzerindeki dağılma özelliğinin keşfi
Hangi matematiksel özelliği kullandığını bilmeyen öğrencilerin sınıf içindeki bu ilişkiyi ifade etmeleri ve özelliği kendilerince isimlendirmeleri örnek olarak sunulabilir:
Hakkı : Şuraya (tabanın bir kenarı) 4 tane sığıyor. Şuraya (tabanın diğer kenarı) da 4 tane sığıyor. Alan olarak 4 kere 4 16. 2 ile çarparız sonuç 32. [(4x4)x2]
Öğretmen : Peki bunda (diğer kare prizma) da aynı işlemi ya da farklı bir işlem yapabilir miyiz?
Semih : 2 ile 4 ü çarparız 8
Ozan-Semih : Bir daha 2 ile çarparız.
Semih : 16. Yani ayrı renkler olduğu için. 16 ile de 2’yi çarparız 32. Şöyle iki iki yaptığım için, bir de yarıya böldüğümüz için 2 ile 4 ü çarparım 8. 8 ile de 2’yi çarparım 16. Diğerleri de(ikinci katı söylüyor) aynı olduğu için 2 ile çarparım. [(2x4)x2x2]
İrem : Öğretmenim 4 kat var. 8’in 4 katını kullanmış. (sarı ve mavi her bir satırdaki birim küp sayısı)
Salih : 8’i 8 ile toplayınca zaten 8’i 2 ile çarpmış oluyor. O yüzden bir de 2 ile çarpınca 2 tane 8’i, 2 ile çarpıp toplama ile aynı oluyor. [(2x8)+(2x8)=2x(8+8)]
Öğretmen : Peki bu bir özellik olsaydı nasıl bir ismi olurdu?
Semih : Kısaltma özelliği.
Öğretmen : Çok yaklaştın.
Gaye : Ayrılma
Öğretmen : Bu özelliğe dağılma özelliği diyoruz.
Görüldüğü gibi öğrenciler, keşfedilen özelliğin birleşme ve değişmeden farklı bir özellik olduğu görebilmiş, farklı biçimlerde isimlendirmeye çalışmışlardır. Bu sürecin devamında öğretmenlerin birim küplerle kat sayısını ve renkli küplerin sayılarını değiştirerek farklı sorular sorması ve öğrencilerin dağılma özelliğini kullanabilme becerilerini kuvvetlendirmesi önemlidir. Dağılma özelliğinin kullanımını içeren 6x(8+7)=(6x ...)+(6x7), ... x(2+3)=(... x2)+(... x3), (3x8)+(4x ...)=7x8, 4x(18+2)=(4x ...)+(... x2) gibi çift taraflı açık sayı cümleleri ve 5x(6+7)=(5x6)+(5x7), (3x4)+(1x4)=4x4, 8x4=(4x4)+(4x4), (8x3)+(8x1)= 8x4 gibi çift taraflı doğru/yanlış sayı cümleleri üzerinden sınıf tartışmaları gerçekleştirilebilir.
Sonuç
Eşit işaretinin ilişkisel anlamını ve ilişkisel düşünme becerilerini geliştirmeyi amaçlayan bu öğretim öncesi yapılan görüşmelerde öğrencilerin eşit işaretini ilişki gösteren bir sembolden ziyade “bir sonuç bulma”, ”işlem sembolü ya da cevaptan önce konulan sembol” olarak anlamlandırdıkları belirlenmiştir. Bu sonucun bir yansıması olarak ise öğrencilerin verilen açık ve doğru/yanlış sayı cümlelerinde ağırlıklı olarak işlemsel bir muhakemede bulundukları, ilişkilerden ziyade sonuca odaklanarak yanıtlar verdikleri, eşitlikte sayılar ve işlemler arasında bir ilişki kurmadıkları ya da kuramadıkları gözlenmiştir. Hatta işlem yapmaksızın kutu yerine gelecek sayıların bulunamayacağını düşünen öğrencilerin olduğu görülmüştür. Gerçekleştirilen öğretim sonunda öğrencilerle tekrar görüşülmüş, bu görüşmelerde öğrencilerin eşit işaretini doğru anlamlandırdıkları, sonuç anlamından daha çok denge anlamını vurguladıkları sonucuna ulaşılmıştır. Bu sonucun yansıması olarak da son görüşmelerde öğrencilerin tamamına yakını verilen sayı cümlelerinde ilişkisel düşünmüşlerdir (Kızıltoprak & Köse, 2017). Bu değişimin sağlanmasında iki önemli etmenden bahsedebiliriz. Bunlardan ilki hiç şüphesiz öğretmen etkisidir. Öğrencilerin eşit işaretini ilişkisel olarak anlamlandırmalarında, yorumlamalarında ve ilişkisel düşünebilmelerinde sınıf içi tartışmaları yönlendiren öğretmenlerin önemli bir rolü vardır (Falkner, Levi & Carpenter, 1999). Bu rolün farkında olmak ise sınıfta tartışma kültürünü canlı tutmayı gerektirir. Öğrencilerinin soru sormasına, sorgulamasına, düşüncesinin nedenlerini açıklamasına olanak veren öğretmenler, öğrencileri için matematik düşünce dünyasının kapısını aralayan öğretmenlerdendir. Çalışmamızda öğretim sürecinde verilen sayı cümlelerini öğrenciler işleme dayalı çözse bile öğretmen onlara farklı çözüm yollarını sormuş, “İşlem yapmadan nasıl bulurdun? Neden öyle düşündün? Düşünceni açıklar mısın? Farklı bir düşüncesi olan var mı?” gibi soruları sürekli sormuş, öğrencilerini farklı çözüm yolları bulma konusunda cesaretlendirmiştir. Unutulmamalıdır ki, aritmetik ve cebir ilkokulun başlangıcından itibaren birbirini etkiler. Erken yaşlarda sayılar ve ilişkiler arasındaki bağları görmek ise matematiksel düşünmenin gelişiminde önemli bir basamaktır.
Değişimde önemli diğer etmen ise kullanılan materyaller ve sayı cümleleridir. Gerek materyaller gerek ise doğru/yanlış ve açık sayı cümlelerinin kullanımı öğrencilerde ilişkisel düşünme becerisini geliştirmiştir. Materyal olarak ağırlıklı birim küpler kullanmakla birlikle, mikado çubukları da eşitlik kavramına girişte oldukça etkili olmuştur. Özellikle doğru/yanlış sayı cümlelerinde öğrenciler sayı cümlesinin tamamına odaklanmışlar, sayıları ve işlem özelliklerini etkili bir biçimde kullanabilmişlerdir. Bu süreç aynı zamanda sınıf tartışmalarını da zenginleştirmiş, her oturumda öğrencilerin farklı stratejiler kullanabildikleri belirlenmiştir.
Araştırma sonuçları öğrencilerin ilişkisel düşünme becerilerinin daha erken yaşlarda geliştirilebileceği de düşündürtmektedir. Hem işlemlerin temel özelliklerinin, hem de işlemler ve sayılar arasındaki ilişkilerin sayı cümleleri ve sınıf içi tartışmalarla verilebilmesi için sınıf ve matematik öğretmenlerine büyük görevler düşmektedir. Böylece öğrenciler sayıların dünyasında belki sonsuzluğu yakalayabilirler.
